K-Means Clustering

K-Meansクラスタリング K-Meansクラスタリングは、データをk個のクラスタに分割するための非階層型クラスタリングアルゴリズムです。以下にK-Meansクラスタリングの主要な特徴と概念をまとめます。 基本概念 目的: K-Meansクラスタリングの目的は、データセットをk個のクラスタに分割し、各クラスタ内のデータポイントが互いにできるだけ近くなるようにすることです。 アルゴリズムの概要: 初期化: データポイントをランダムにk個のクラスタに割り当てる。 クラスタ中心の計算: 各クラスタの中心（重心）を計算する。 割り当て更新: 各データポイントを最も近いクラスタ中心に再割り当てする。 収束判定: クラスタの割り当てが変わらなくなるまで、または変化量が閾値以下になるまで繰り返す。 数式: K-Meansクラスタリングは、以下の最適化問題を解くアルゴリズムです。min⁡∑i=1k∑x∈Ci∥x−μi∥2min∑i=1k​∑x∈Ci​​∥x−μi​∥2ここで、μiμi​ はクラスタ CiCi​ の中心です。 アルゴリズムのステップ 初期化: データポイントをランダムにk個のクラスタに割り当てるか、k-means++アルゴリズムを使用して初期クラスタ中心を選択します。 クラスタ中心の計算: 各クラスタの中心を計算します。中心はそのクラスタに属する全データポイントの平均です。 μi=1∣Ci∣∑x∈Cixμi​=∣Ci​∣1​∑x∈Ci​​x 割り当て更新: 各データポイントを最も近いクラスタ中心に再割り当てします。 Ci={x:∥x−μi∥2≤∥x−μj∥2∀j,1≤j≤k}Ci​={x:∥x−μi​∥2≤∥x−μj​∥2∀j,1≤j≤k} 収束判定: クラスタの割り当てが変わらなくなるまで、または変化量が閾値以下になるまで、ステップ2と3を繰り返します。 利点と欠点 利点 シンプルで実装が容易: 理解しやすく、実装が簡単です。 計算効率が高い: 大規模なデータセットに対しても比較的高速に動作します。 欠点 初期値に依存: 初期クラスタ中心の選択により結果が異なることがあります。 非凸問題: 最適解ではなく局所解に収束する可能性があります。 クラスタ数の指定が必要: クラスタの数kを事前に指定する必要があります。 実装例 (Python/scikit-learn) from sklearn.cluster import KMeans import numpy as np # データの準備 X = np.array([[1, 2], [1, 4], [1, 0], [4, 2], [4, 4], [4, 0]]) # モデルの作成と学習 kmeans = KMeans(n_clusters=2, random_state=0)....