K-Meansクラスタリング
K-Meansクラスタリングは、データをk個のクラスタに分割するための非階層型クラスタリングアルゴリズムです。以下にK-Meansクラスタリングの主要な特徴と概念をまとめます。
基本概念
目的:
K-Meansクラスタリングの目的は、データセットをk個のクラスタに分割し、各クラスタ内のデータポイントが互いにできるだけ近くなるようにすることです。アルゴリズムの概要:
- 初期化: データポイントをランダムにk個のクラスタに割り当てる。
- クラスタ中心の計算: 各クラスタの中心（重心）を計算する。
- 割り当て更新: 各データポイントを最も近いクラスタ中心に再割り当てする。
- 収束判定: クラスタの割り当てが変わらなくなるまで、または変化量が閾値以下になるまで繰り返す。
数式:
K-Meansクラスタリングは、以下の最適化問題を解くアルゴリズムです。min∑i=1k∑x∈Ci∥x−μi∥2min∑i=1k∑x∈Ci∥x−μi∥2ここで、μiμi はクラスタ CiCi の中心です。
アルゴリズムのステップ
初期化:
- データポイントをランダムにk個のクラスタに割り当てるか、k-means++アルゴリズムを使用して初期クラスタ中心を選択します。
クラスタ中心の計算:
- 各クラスタの中心を計算します。中心はそのクラスタに属する全データポイントの平均です。
μi=1∣Ci∣∑x∈Cixμi=∣Ci∣1∑x∈Cix
割り当て更新:
- 各データポイントを最も近いクラスタ中心に再割り当てします。
Ci={x:∥x−μi∥2≤∥x−μj∥2∀j,1≤j≤k}Ci={x:∥x−μi∥2≤∥x−μj∥2∀j,1≤j≤k}
収束判定:
- クラスタの割り当てが変わらなくなるまで、または変化量が閾値以下になるまで、ステップ2と3を繰り返します。
利点と欠点
利点
- シンプルで実装が容易: 理解しやすく、実装が簡単です。
- 計算効率が高い: 大規模なデータセットに対しても比較的高速に動作します。
欠点
- 初期値に依存: 初期クラスタ中心の選択により結果が異なることがあります。
- 非凸問題: 最適解ではなく局所解に収束する可能性があります。
- クラスタ数の指定が必要: クラスタの数kを事前に指定する必要があります。
実装例 (Python/scikit-learn)
from sklearn.cluster import KMeans
import numpy as np
# データの準備
X = np.array([[1, 2], [1, 4], [1, 0],
[4, 2], [4, 4], [4, 0]])
# モデルの作成と学習
kmeans = KMeans(n_clusters=2, random_state=0).fit(X)
# クラスタの割り当て
labels = kmeans.labels_
# クラスタ中心の取得
centers = kmeans.cluster_centers_
print(f"Labels: {labels}")
print(f"Centers: {centers}")
K-Meansクラスタリングは、データのパターンや構造を発見するための強力なツールであり、広く使用されています。
K-Means クラスタリングアルゴリズムで使用される主な数式を、Obsidian で直接使用できる LaTeX 形式で日本語で説明します：
- K-Means の目的関数（二乗誤差の最小化）：
tex
$$\min \sum_{i=1}^{k} \sum_{x \in C_i} | x - \mu_i |^2$$
この式は、各データポイントとそのクラスタ中心との距離の二乗和を最小化することを表しています。
- クラスタ中心の計算：
tex
$$\mu_i = \frac{1}{|C_i|} \sum_{x \in C_i} x$$
この式は、各クラスタに属するすべてのデータポイントの平均を計算し、新しいクラスタ中心を求めることを表しています。
- データポイントの最も近いクラスタへの割り当て：
tex
$$C_i = { x : | x - \mu_i |^2 \leq | x - \mu_j |^2 \quad \forall j, 1 \leq j \leq k }$$
この式は、各データポイントを最も近いクラスタ中心に割り当てることを表しています。
- ユークリッド距離の計算（データポイント間の距離を計算するために使用）：
tex
$$d(p,q) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (p_i - q_i)^2}$$
この式は、二つのデータポイント間のユークリッド距離を計算する方法を表しています。